Question

14．設(shè) 橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左右焦點(diǎn)，以F₁F₂及橢圓短軸上的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為$\sqrt{3}$的正三角形．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)C₂是以F₁F₂為直徑的圓，過(guò)圓C₂上一點(diǎn)P作圓C₂的切線，交橢圓于AB點(diǎn)，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以F₁F₂及橢圓短軸上的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為$\sqrt{3}$的正三角形．可得$\frac{1}{2}2c•b$=$\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}c$，解出即可．
（2）C₂是以F₁F₂為直徑的圓，可得方程為：x²+y²=1．當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，把x=1代入橢圓方程解得y=$±\frac{3}{2}$，可得|AB|．當(dāng)直線AB的斜率k=0時(shí)，把y=1代入橢圓方程解得x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，可得|AB|．當(dāng)直線AB的斜率存在不為0時(shí)，設(shè)方程為：y=kx+m，由于直線AB與圓相切可得：m²=1+k²．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|AB|²=$（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$=$\frac{48（1+{k}^{2}）（2+3{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=f（k），通過(guò)換元求導(dǎo)即可得出．

解答 解：（1）∵以F₁F₂及橢圓短軸上的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為$\sqrt{3}$的正三角形．
∴$\frac{1}{2}2c•b$=$\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}c$，
解得b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴a²=b²+c²=4．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）C₂是以F₁F₂為直徑的圓，可得方程為：x²+y²=1．
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，把x=1代入橢圓方程解得y=$±\frac{3}{2}$，∴|AB|=3．
當(dāng)直線AB的斜率k=0時(shí)，把y=1代入橢圓方程解得x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，∴|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
當(dāng)直線AB的斜率存在不為0時(shí)，設(shè)方程為：y=kx+m，
由于直線AB與圓相切可得：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，化為m²=1+k²．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∴|AB|²=$（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$
=$\frac{16（1+{k}^{2}）（9+12{k}^{2}-3{m}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{48（1+{k}^{2}）（2+3{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=f（k），
令1+k²=t＞1，則f（k）=g（t）=$\frac{48t（3t-1）}{（4t-1）^{2}}$，
g′（t）=$\frac{-48（2t-1）}{（4t-1）^{3}}$＜0，
∴函數(shù)g（t）在t＞1時(shí)單調(diào)遞減，
∴0＜g（t）＜g（1）=$\frac{32}{3}$．即$0＜|AB|＜\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
綜上可得：$3≤|AB|≤\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴|AB|的取值范圍是$[3，\frac{4\sqrt{6}}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、正三角形的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．