Question

13．若函數(shù)f（x）對(duì)定義域中任意x均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱．
（1）已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+mx+m}}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）已知函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）=x²+ax+1，求函數(shù)g（x）在（-∞，0）上的解析式；
（3）在（1）、（2）的條件下，若對(duì)實(shí)數(shù)x＜0及t＞0，恒有g(shù)（x）＜f（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義可得f（x）+f（-x）=2，進(jìn)而求出m值；
（2）根據(jù)定義可得g（x）+g（-x）=2，得出g（x）=2-g（-x），設(shè)x＜0時(shí)，則-x＞0，求出g（x）即可；
（3）恒有g(shù)（x）＜f（t）成立，則g（x）=-x²+ax+1＜f（t）_min=3，求出a的范圍．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，
∴f（x）+f（-x）=2，
即$\frac{{{x^2}+mx+m}}{x}+\frac{{{x^2}-mx+m}}{-x}=2$，
所以2m=2，
∴m=1．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，
則g（x）+g（-x）=2，
∴g（x）=2-g（-x），
∴當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，
∴g（-x）=x²-ax+1，
∴g（x）=2-g（-x）=-x²+ax+1；
（3）由（1）知，$f（t）=\frac{{{t^2}+t+1}}{t}=t+\frac{1}{t}+1（t＞0）$，
∴f（t）_min=3，
又當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）=-x²+ax+1
∴g（x）=-x²+ax+1＜3，
∴ax＜2+x²又x＜0，
∴$a＞\frac{2}{x}+x$，
∴$a＞-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了新定義類型的做題方法和恒成立問題的轉(zhuǎn)化．要緊扣定義．