Question

16．在邊長為2的等邊△ABC中，點D滿足$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，點E滿足$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AC}$，λ∈[0，1]，則$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$的取值范圍為[$\frac{23}{16}$，3]．

Answer 1

分析 由題意得，$\overrightarrow{AE}$ 和$\overrightarrow{AB}$的夾角為60°，根據(jù)的向量的幾何意義得到$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$的表達式，求出最值，即得取值范圍．

解答 解：由題意得，$\overrightarrow{AE}$ 和$\overrightarrow{AB}$的夾角為60°，D是AB的中點，設(shè)|$\overrightarrow{AE}$|=x，
∴$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AE}$）=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AD}$-${\overrightarrow{AE}}^{2}$=2-x-$\frac{x}{2}$-x²=x²-$\frac{3}{2}$x+2．
由于E為線段AC上一動點，故 0≤x≤2，
令f（x）=x²-$\frac{3}{2}$x+2=${（x-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{23}{16}$，
∴當x=$\frac{3}{4}$時，f（x）取得最小值為$\frac{23}{16}$；當x=2時，f（x）_max=3，
∴$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$的取值范圍是[$\frac{23}{16}$，3]，
故答案為：[$\frac{23}{16}$，3]．

點評 本題題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．