Question

19．已知圓${C_1}：{x^2}+{y^2}=2$，點(diǎn)P在圓外，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為T₁，T₂．
（1）若$\overrightarrow{P{T_1}}•\overrightarrow{P{T_2}}=0$，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)$\overrightarrow{P{T_1}}•\overrightarrow{P{T_2}}=λ，λ∈[0，\frac{3}{5}]$，點(diǎn)P在平面上構(gòu)成的圖形為M，求M的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意，四邊形OT₁T₂P是正方形，|OP|=2，可得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）由題意，點(diǎn)P在平面上構(gòu)成的圖形是以O(shè)P為直徑的圓，利用$\overrightarrow{P{T_1}}•\overrightarrow{P{T_2}}=λ，λ∈[0，\frac{3}{5}]$，求出OP²，即可求M的面積．

解答 解：（1）由題意，四邊形OT₁T₂P是正方形，∴|OP|=2，
∴點(diǎn)P的軌跡方程是x²+y²=4；
（2）由題意，點(diǎn)P在平面上構(gòu)成的圖形是以O(shè)P為直徑的圓，設(shè)∠T₁OP=α，t=OP²，
∵$\overrightarrow{P{T_1}}•\overrightarrow{P{T_2}}=λ，λ∈[0，\frac{3}{5}]$，
∴（$\overrightarrow{O{T}_{1}}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{O{T}_{2}}$-$\overrightarrow{OP}$）=λ，
∴2cos2α-2$\sqrt{2}$OPcosα+OP²=λ，
∴$\frac{8}{t}$+t-6=λ，
∴t²-（6+λ）t+8=0，
∴t=$\frac{6+λ+\sqrt{（6+λ）^{2}-32}}{2}$（另一根舍去），
∴M的面積S=$\frac{1}{4}πt$=$\frac{6+λ+\sqrt{（6+λ）^{2}-32}}{8}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查面積的計(jì)算，確定軌跡方程是關(guān)鍵．