Question

6．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長都是1，∠BAC=∠BAA₁=∠CAA₁=60°，點M，N分別是AB，CC₁的中點，記$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AC}$=b，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=c．
（1）用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{MN}$；
（2）求$\overrightarrow{MN}$的模長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義便可得到$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$，然后進行向量的數(shù)乘運算便可得出$\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$；
（2）求${\overrightarrow{MN}}^{2}=（-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}）^{2}$，然后根據(jù)條件進行數(shù)量積的運算，便可求出${\overrightarrow{MN}}^{2}$，這樣即可得出$|\overrightarrow{MN}|$．

解答 解：（1）$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$；
（2）${\overrightarrow{MN}}^{2}=（-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}）^{2}$
=$\frac{1}{4}{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{c}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}$
=$\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{4}$；
∴$\overrightarrow{MN}$的模長為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 考查向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，相等向量的概念，以及向量的數(shù)乘運算，求向量的平方從而求出向量長度的方法．