Question

16．定義數(shù)列{x_n}：x₁=$\root{3}{3}$，x₂=（$\root{3}{3}$）${\;}^{\root{3}{3}}$，…，x_n=（x_n-1）${\;}^{\root{3}{3}}$（n∈N，且n＞1），則使x_n是整數(shù)的n的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 9

Answer 1

分析 由x_n=（x_n-1）${\;}^{\root{3}{3}}$（n∈N，且n＞1），兩邊取對數(shù)可得：$ln{x}_{n}=\root{3}{3}$lnx_n-1，再利用等比數(shù)列的通項公式及其對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：由x_n=（x_n-1）${\;}^{\root{3}{3}}$（n∈N，且n＞1），
兩邊取對數(shù)可得：$ln{x}_{n}=\root{3}{3}$lnx_n-1，
∴數(shù)列{lnx_n}是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{3}ln3$，公比為$\root{3}{3}$．
∴l(xiāng)nx_n=$\frac{1}{3}ln3$×$（\root{3}{3}）^{n-1}$=${3}^{\frac{n-2}{3}}$ln3．
∴x_n=${3}^{{3}^{\frac{n-2}{3}}}$．
∴使x_n是整數(shù)的n的最小值是2．
故選：A．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．