Question

15．設(shè)f（x）=e^x-a（x+1）．（e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）若f（x）≥0對一切x≥-1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：（$\frac{2015}{2016}$）¹⁰⁰⁸$＜\frac{1}{\sqrt{e}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，x≠-1時，f（x）≥0?a≤$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（x＞-1）恒成立，設(shè)p（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（x＞-1），通過求導(dǎo)得到函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍；
（Ⅱ）a=1時，由（Ⅰ）得e^x≥x+1．令x=-$\frac{1}{2016}$，則${e}^{-\frac{1}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$，即可證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）x=-1時，結(jié)論成立；
x≠-1時，f（x）≥0?a≤$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（x＞-1）恒成立，
設(shè)p（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（x＞-1），則p′（x）=$\frac{x{e}^{x}}{（x+1）^{2}}$，
∴p（x）在x∈（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴p（x）≥p（0）=1（x=0時取等號），
∴a≤1；
（Ⅱ）證明：a=1時，由（Ⅰ）得e^x≥x+1．
令x=-$\frac{1}{2016}$，則${e}^{-\frac{1}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$，
∴（$\frac{2015}{2016}$）¹⁰⁰⁸$＜\frac{1}{\sqrt{e}}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．