Question

7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，3asinB=c，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，D是AC的中點，且BD=$\sqrt{26}$，則△ABC的面積為6．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理和余弦定理建立方程關(guān)系求出a，b，c以及A，利用三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵3asinB=c，
∴3sinAsinB=sinC，
即3$\sqrt{5}$sinA=5sinC，
即3$\sqrt{5}$sinA=5sin（A+B），
即3$\sqrt{5}$sinA=5（sinAcosB+cosAsinB）=5×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinA+5×$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosA=2$\sqrt{5}$sinA+$\sqrt{5}$cosA，
即$\sqrt{5}$sinA=$\sqrt{5}$cosA，
則sinA=cosA，即tanA=1，則A=$\frac{π}{4}$，
則c²+$\frac{1}{4}$b²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$bc=26，
∵c=3asinB=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，b=$\frac{\sqrt{10}}{5}$a，
∴$\frac{9}{5}$a²+$\frac{1}{10}$a²-$\frac{3}{5}$a²=26，
即$\frac{13}{10}$a²=26，
則a=2$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{2}$，c=6，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×6$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6，
故答案為：6

點評 本題主要考查三角形面積的計算，根據(jù)條件結(jié)合正弦定理和余弦定理建立方程組，求出a，b，c的值是解決本題的關(guān)鍵．