Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（I）求出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（II）設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）使用加減消元法消去參數(shù)t即得直線l的普通方程，將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ即可得到曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出曲線C的圓心到直線l的距離，利用垂徑定理求出|AB|．

解答 解：（I）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），∴$\sqrt{3}$x-y=$\sqrt{3}-2$，
即直線l的普通方程為$\sqrt{3}x$-y+2-$\sqrt{3}$=0．
由ρ=2$\sqrt{3}$sinθ得ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ，即x²+y²=2$\sqrt{3}$y．
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2$\sqrt{3}$y．即x²+（y-$\sqrt{3}$）²=3．
（II）由（1）知曲線C的圓心為（0，$\sqrt{3}$），半徑r=$\sqrt{3}$．
∴曲線C的圓心到直線l的距離d=$\frac{2\sqrt{3}-2}{2}$=$\sqrt{3}-1$．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-zao6az2^{2}}$=2$\sqrt{3-（\sqrt{3}-1）^{2}}$=2$\sqrt{2\sqrt{3}-1}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．