Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3（2ⁿ-1），數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=5n-2．?dāng)?shù)列{a_n}和{b_n}的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{c_n}．若數(shù)列{c_n}的第n項(xiàng)恰為數(shù)列{a_n}第k_n項(xiàng)，則數(shù)列{k_n}的前32項(xiàng)的和是2016．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3（2ⁿ-1），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得：a_n=3×2^n-1．?dāng)?shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=5n-2．?dāng)?shù)列{a_n}和{b_n}的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{c_n}：3，48，768，…，分別為數(shù)列{a_n}第1，5，9，…，k_n項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3（2ⁿ-1），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3（2ⁿ-1）-3（2^n-1-1）=3×2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，∴a_n=3×2^n-1．
數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=5n-2．
數(shù)列{a_n}和{b_n}的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{c_n}：3，48，768，…，
分別為數(shù)列{a_n}第1，5，9，…，k_n項(xiàng)．
可得k_n=1+4（n-1）=4n-3．
∴則數(shù)列{k_n}的前32項(xiàng)的和是 $\frac{32（1+125）}{2}$=2016．
故答案為：2016．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．