Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求k的值，判斷并證明當a＞1時，函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性．
（2）已知f（1）=

3

2

，函數(shù)g（x）=a²x+a^-2x-2f（x），x∈[-1，1]，求g（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先利用f（x）為R上的奇函數(shù)得f（0）=0求出k以及函數(shù)f（x）的表達式，利用a＞1及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)法可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）先由f（1）=

3

2

得a=2，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再對g（x）進行整理，整理為用f（x）表示的函數(shù)，最后利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性以及值域，得到g（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴k-1=0，
解得：k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x
f′（x）=a^xlna+

lna

ax

=lna（a^x+

1

ax

），
∵a＞1，∴l(xiāng)na＞0，而a^x+

1

ax

＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）∵f（1）=

3

2

，
∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[-

3

2

，

3

2

]，
令h（t）=t²-2t+2=（t-1）²+1，（t∈[-

3

2

，

3

2

]），
當t=1時，函數(shù)取最小值1，
當t=-

3

2

時，函數(shù)取最大值

29

4

，
故g（x）的值域為[1，

29

4

]

點評：題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查解不等式，考查二次函數(shù)最值的研究，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，確定參數(shù)的范圍．