Question

【題目】已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與圓C：x2+y2﹣8x+12＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B．

（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡M的方程．

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線l1：y＝k（x﹣5）與曲線M有且僅有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．（2）存在，k∈[，]∪{，}

【解析】

（1）根據(jù)垂徑定理，CP⊥AB，即可求出P的軌跡的軌跡方程，但中點(diǎn)P在圓內(nèi)，所以要確定P點(diǎn)軌跡方程在圓C范圍內(nèi)；

（2）由（1）得P的軌跡是一段弧，先直線l1與弧相切，用圓心到直線直線的距離等于半徑求出k，然后考慮圓弧端點(diǎn)與（5,0）連線的斜率的范圍，即得結(jié)論.

（1）設(shè)直線l的方程為y＝mx，

設(shè)P（x，y），圓C：x2+y2﹣8x+12＝0，

即為（x﹣4）2+y2＝4，則圓心為（4，0），半徑為2，

∵點(diǎn)P為弦AB中點(diǎn)即CP⊥AB，

∴（x﹣4，y），（x，y），

∴x（x﹣4）+y2＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，

當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，圓心到直線l的距離為

2，解得m＝±，此時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，

當(dāng)直線l過過圓心時(shí)，點(diǎn)P與圓心重合，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x＝4，

故線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．

（2）由（1）知點(diǎn)M的軌跡是以為（2，0）圓心，2為半徑的一段弧，

當(dāng)直線l1與曲線M相切時(shí)，由2，解得k＝±，

此時(shí)l1與曲線M的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故k＝±符合，

當(dāng)直線l1與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，則交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±，

此時(shí)直線l1的斜率為k＝±，

∵線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．

∴要使直線直線l1：y＝k（x﹣5）與曲線M有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

只需要k，

綜上所述當(dāng)k∈[，]∪{，}時(shí)，

直線L：y＝k（x﹣5）與曲線M只有一個(gè)交點(diǎn)．