Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），ab=2$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過橢圓的右焦點(diǎn)F作斜率為k的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為直線x=3上的一點(diǎn)，若△ABP為等邊三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過ab=2$\sqrt{3}$、e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$直接計算即可；
（Ⅱ）通過設(shè)直線l方程為：y=k（x-2）并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得|AB|=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$、AB的中點(diǎn)M（$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{2k}{1+3{k}^{2}}$），利用直線MP的斜率為-$\frac{1}{k}$且x_P=3可得|MP|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{3（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$，通過|MP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵ab=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a²=6，b²=2，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）由（I）知橢圓的右焦點(diǎn)F（2，0），
設(shè)直線l方程為：y=k（x-2），
聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y整理得：
（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁•x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$，
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{2}$=-$\frac{2k}{1+3{k}^{2}}$，
即有M（$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{2k}{1+3{k}^{2}}$），
若△ABP為等邊三角形，則直線MP的斜率為-$\frac{1}{k}$，且x_P=3，
∴|MP|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|x₀-x_P|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{3（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$，
∵|MP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{3（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$，
解得k=±1，
∴直線l的方程為：y=±（x-2），
∴所求直線方程為：x-y-2=0或x+y-2=0．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．