Question

19．已知曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線(xiàn)l：x=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）若斜率k＞2的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且交曲線(xiàn)C為A、B兩點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M到直線(xiàn)l′：5x+12y+a=0（a＞-5）的距離為$\frac{1}{13}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得：P到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線(xiàn)l：x=-1的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義得曲線(xiàn)C為拋物線(xiàn)，即可求曲線(xiàn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，消去y，得 k²x²-2（k²+2）x+k²=0，利用線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M到直線(xiàn)l′：5x+12y+a=0（a＞-5）的距離為$\frac{1}{13}$，用k表示a，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：P到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線(xiàn)l：x=-1的距離相等
∴由拋物線(xiàn)的定義得曲線(xiàn)C為拋物線(xiàn)，$\frac{p}{2}$=1
∴軌跡方程為：y²=4x．　　　　　　　　　　 …4分
（Ⅱ）由已知得直線(xiàn)l：y=k（x-1）（k＞2）
聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，消去y，得 k²x²-2（k²+2）x+k²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），
則 ${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{{k^2}+2}}{k^2}$，∴${y_0}=k（{x_0}-1）=\frac{2}{k}$
于是點(diǎn)M到直線(xiàn)l′的距離為$|{\frac{{5{x_0}+12{y_0}+a}}{{\sqrt{{5^2}+{{12}^2}}}}}|=\frac{1}{13}$
∴$|{\frac{10}{k^2}+\frac{24}{k}+a+5}|=1$…（8分）
由 k＞2及a＞-5得：$\frac{10}{k^2}+\frac{24}{k}+a+5=1$
即a=-$\frac{10}{{k}^{2}}$-$\frac{24}{k}$-4=-10$（\frac{1}{k}+\frac{6}{5}）^{2}$+$\frac{52}{5}$
由k＞2知$\frac{6}{5}$＜$\frac{1}{k}+\frac{6}{5}＜\frac{17}{10}$ 
∴-$\frac{37}{2}$＜a＜-4  
∴由a＞-5得：a的取值范圍為（-5，-4）．　…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義與方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，根據(jù)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M到直線(xiàn)l′：5x+12y+a=0（a＞-5）的距離為$\frac{1}{13}$，確定a，k的關(guān)系是關(guān)鍵．