【題目】如圖，在正方體中，E，F，M，N分別是，BC，，的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面NEF;

（2）求二面角的平面角的正切值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）正方形中三個中點(diǎn)，可得，由正方體可證，從而可得線面垂直，又得面面垂直；

（2）過點(diǎn)N作于點(diǎn)G，連接MG，證明為二面角的平面角.然后求解．

（1）證明：因?yàn)?/span>N，F為所在棱的中點(diǎn)，所以平面.

又平面，所以.

又因?yàn)?/span>M，E為所在棱的中點(diǎn)，所以和均為等腰直角三角形.

所以.所以.所以.

又，所以平面NEF.又平面MNF，

所以平面平面NEF.

（2）在平面NEF中，過點(diǎn)N作于點(diǎn)G，連接MG.

由（1）知平面NEF，又平面NEF，所以.

又，所以平面MNG.所以.

所以為二面角的平面角.

設(shè)該正方體的棱長為2.

在中，，

所以在中.

所以二面角的平面角的正切值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某種植園在芒果臨近成熟時，隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量（單位：克）分別在，，，，，中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示.

（1）現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為，的芒果中隨機(jī)抽取6個，再從這6個中隨機(jī)抽取3個，求這3個芒果中恰有1個在內(nèi)的概率；

（2）某經(jīng)銷商來收購芒果，以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，用樣本估計(jì)總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個，經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案：

方案：所有芒果以10元/千克收購；

方案：對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購，高于或等于250克的以3元/個收購.

通過計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？

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【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和滿足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，，也是等比數(shù)列，若數(shù)列單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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【題目】中國是世界互聯(lián)網(wǎng)服務(wù)應(yīng)用最好的國家，一部智能手機(jī)就可以跑遍國內(nèi)所有地方，中國市場的移動支付普及率高得驚人.一家大型超市委托某高中數(shù)學(xué)興趣小組調(diào)查該超市的顧客使用移動支付的情況，調(diào)查人員從年齡在內(nèi)的顧客中，隨機(jī)抽取了人，調(diào)查他們是否使用移動支付，結(jié)果如下表：

年齡

使用

不使用

（1）為更進(jìn)一步推動移動支付，超市準(zhǔn)備對使用移動支付的每位顧客贈送個環(huán)保購物袋,若某日該超市預(yù)計(jì)有人購物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì)，該超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋？

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為使用移動支付與年齡有關(guān)？

年齡

年齡

小計(jì)

使用移動支付

不使用移動支付

合計(jì)

附：下面的臨界值表供參考：

參考數(shù)據(jù)：

，其中.

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【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＞BC．E，F分別為棱AB，PC上的點(diǎn)．

（1）求證：平面AFD⊥平面PAB；

（2）若點(diǎn)E滿足，當(dāng)F滿足什么條件時，EF∥平面PAD？請給出證明．

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【題目】已知三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，直線經(jīng)過點(diǎn).

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（2）若直線與相切，求直線的方程；

（3）若直線與相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.

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(1)求證：AC⊥平面BDE；

(2)求二面角F－BE－D的余弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個動點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

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（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（3，），判斷點(diǎn)P與直線l位置關(guān)系；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個動點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

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