Question

8．函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}aln（x+1），x≥0\\ \frac{1}{3}{x^3}-ax，x＜0\end{array}\right.$，g（x）=e^x-1．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f （x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a在R上變化時(shí)，討論函數(shù)f （x）與g （x）的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）求證：$\frac{1095}{1000}＜\root{10}{e}＜\frac{3000}{2699}$．（參考數(shù)據(jù)：ln1.1≈0.0953）

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f （x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a在R上變化時(shí)，討論函數(shù)f （x）與g （x）的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論h（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a=1時(shí)，g（x）＞f（x）對(duì)x＞0恒成立，即e^x＞1+ln（x+1），令$x=\frac{1}{10}$；當(dāng)a=-1時(shí)，g（x）＞f（x）對(duì)x＜0恒成立，即${e^x}＞\frac{1}{3}{x^3}+x+1$，令$x=-\frac{1}{10}$，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：當(dāng)x≥0時(shí)，a＞0，$f'（x）=\frac{a}{x+1}＞0$，f（x）在[0，+∞）遞增
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=x²-a，$x∈（-\sqrt{a}，0），f'（x）＜0$，f （x）遞減，$x∈（-∞，-\sqrt{a}），f'（x）＞0$，f （x）遞增；
故f（x）在$（-∞，-\sqrt{a}）$，[0，+∞）遞增，$（-\sqrt{a}，0）$遞減，（不必說明連續(xù)性）
故${[f（x）]_{極小值}}=f（0）=0，{[f（x）]_{極大值}}=f（-\sqrt{a}）=\frac{2}{3}a\sqrt{a}$． （4分）
（Ⅱ）解：即討論h（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，h（0）=0，故必有一個(gè)零點(diǎn)為x=0．
①當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=g（x）-f（x）=e^x-1-aln（x+1），$h'（x）={e^x}-\frac{a}{x+1}$
（�。┤鬭≤1，則$\frac{a}{x+1}＜1＜{e^x}$，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，h（x）＞h（0）=0，故此時(shí)h（x）在（0，+∞）無零點(diǎn)；（5分）
（ⅱ）若a＞1，$h'（x）={e^x}-\frac{a}{x+1}$在（0，+∞）遞增，h′（x）＞h′（0）=1-a，1-a＜0
且x→+∞時(shí)，h′（x）→+∞，則?x₀∈（0，+∞）使h'（x₀）=0
進(jìn)而h（x）在（0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，h（x₀）＜h（0）=0，由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長率知，x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，h（x）在（x₀，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，在（0，x₀]無零點(diǎn)，故h（x）在（0，+∞）有一個(gè)零點(diǎn)（7分）
②當(dāng)x＜0時(shí)，$h（x）=g（x）-f（x）={e^x}-1-\frac{1}{3}{x^3}+ax$h'（x）=e^x-x²+a，
設(shè)θ（x）=h′（x），θ′（x）=e^x-2x＞0對(duì)x＜0恒成立，
故h′（x）=e^x-x²+a在（-∞，0）遞增，h′（x）＜h′（0）=1+a，且x→-∞時(shí)，h′（x）→-∞；
（�。┤�1+a≤0，即a≤-1，則h′（x）＜h′（0）=1+a≤0，故h（x）在（-∞，0）遞減，所以h（x）＞h（0）=0，h（x）在（-∞，0）無零點(diǎn)； （8分）
（ⅱ）若1+a＞0，即a＞-1，則?x₀∈（-∞，0）使h′（x₀）=0，
進(jìn)而h（x）在（-∞，x₀）遞減，在（x₀，0）遞增，h（x₀）＜h（0）=0
且x→-∞時(shí)，$h（x）=（{e^x}-1）-\frac{1}{3}x（{x^2}-3a）→+∞$，h（x）在（-∞，x₀）上有一個(gè)零點(diǎn)，在[x₀，0）無零點(diǎn)，故h（x）在（-∞，0）有一個(gè)零點(diǎn) （10分）
綜合①②，當(dāng)a≤-1時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-1＜a≤1時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)a＞1時(shí)有三個(gè)公共點(diǎn)（11分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a=1時(shí)，g（x）＞f（x）對(duì)x＞0恒成立，即e^x＞1+ln（x+1）
令$x=\frac{1}{10}$，則${e^{\frac{1}{10}}}＞1+ln1.1≈1.0953＞\frac{1095}{1000}$（12分）
由（Ⅱ）知，當(dāng)a=-1時(shí)，g（x）＞f（x）對(duì)x＜0恒成立，即${e^x}＞\frac{1}{3}{x^3}+x+1$
令$x=-\frac{1}{10}$，則${e^{-\frac{1}{10}}}＞\frac{1}{3}{（-\frac{1}{10}）^3}-\frac{1}{10}+1=\frac{2699}{3000}$，故有$\frac{1095}{1000}＜\root{10}{e}＜\frac{3000}{2699}$（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度大．