Question

8．設函數(shù)f（x）=xe^a-x+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f（2），建立方程組關(guān)系即可求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4，
∴當x=2時，y=2（e-1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同時f′（2）=e-1，
∵f（x）=xe^a-x+bx，
∴f′（x）=e^a-x-xe^a-x+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=2{e}^{a-2}+2b=2e+2}\\{f'（2）={e}^{a-2}-2{e}^{a-2}+b=e-1}\end{array}\right.$，
即a=2，b=e；
（Ⅱ）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe^2-x+ex，
∴f′（x）=e^2-x-xe^2-x+e=（1-x）e^2-x+e=（1-x+e^x-1）e^2-x，
∵e^2-x＞0，
∴1-x+e^x-1與f′（x）同號，
令g（x）=1-x+e^x-1，
則g′（x）=-1+e^x-1，
由g′（x）＜0，得x＜1，此時g（x）為減函數(shù)，
由g′（x）＞0，得x＞1，此時g（x）為增函數(shù)，
則當x=1時，g（x）取得極小值也是最小值g（1）=1，
則g（x）≥g（1）=1＞0，
故f′（x）＞0，即f（x）的單調(diào)區(qū)間是（-∞，+∞），無遞減區(qū)間．

點評 本題主要考查導數(shù)的應用，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線斜率建立方程關(guān)系以及利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．