Question

14．對于函數(shù)$f（x）=\frac{1}{1-x}$，定義${f_1}（x）=f（x），{f_{n+1}}（x）=f[{{f_n}（x）}]\;\;（n∈{N^*}）$．已知偶函數(shù)g（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0；當(dāng)x＞0，且x≠1時，g（x）=f₂₀₁₅（x）．
（1）求f₂（x），f₃（x），f₄（x），并求出函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若存在實數(shù)a，b（a＜b）使得函數(shù)g（x）在[a，b]上的值域為[mb，ma]，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的值域關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）因為${f_1}（x）=f（x）=\frac{1}{1-x}\;（{x≠1}），\;\;故$${f_2}（x）=f[{{f_1}（x）}]=\frac{1}{{1-\frac{1}{1-x}}}=1-\frac{1}{x}\;（{x≠0，x≠1}）$，$\begin{array}{l}{f_3}（x）=f[{{f_2}（x）}]=\frac{1}{{1-（1-\frac{1}{x}）}}=x\;（x≠0，x≠1），\;\;\\{f_4}（x）=f[{{f_3}（x）}]=\frac{1}{1-x}\;\;（x≠0，x≠1），…（3分）\end{array}$
故對任意的n∈N^•，有f_3n+i（x）=f_i（x）（i=2，3，4），
于是${f_{2015}}（x）={f_{3×671+2}}（x）={f_2}（x）=1-\frac{1}{x}\;（x≠0，x≠1）$；$故當(dāng)\;x＞0，x≠1\;時，g（x）={f_{2015}}（x）=1-\frac{1}{x}$．$又g（1）=0，故當(dāng)\;x＞0\;時，g（x）=1-\frac{1}{x}$．
由g（x）為偶函數(shù)，$當(dāng)\;x＜0\;時，-x＞0，g（x）=g（-x）=1-\frac{1}{-x}=1+\frac{1}{x}$．${因此}g（x）=\left\{\begin{array}{l}1+\;\frac{1}{x}，\;x＜0\\ 1-\frac{1}{x}，\;x＞0.\end{array}\right.=1-\;\frac{1}{|x|}$．…（6分）
（2）由于y=g（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
又a＜b，mb＜ma，可知a與b同號，且m＜0；進(jìn)而g（x）在[a，b]遞減，且a＜b＜0．…（8分）
函數(shù)y=g（x）的圖象，如圖所示．由題意，有$\left\{\begin{array}{l}g（a）=1+\;\frac{1}{a}=ma\\ g（b）=1+\;\frac{1}=mb\end{array}\right.$…（10分）

故a，b是方程$1+\;\frac{1}{x}=m\;x$的兩個不相等的負(fù)實數(shù)根，即方程mx²-x-1=0在（-∞，0）上有
兩個不相等的實根，于是$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}△=1+4m＞0\\ a+b=\;\frac{1}{m}＜0\\ ab=-\;\frac{1}{m}＞0\end{array}\right.\\?-\frac{1}{4}＜m＜0.\end{array}$…（12分）
綜合上述，得：實數(shù)m的取值范圍為$（{-\frac{1}{4}，0}）$．…（14分）
注：若采用數(shù)形結(jié)合，得出直線y=mx與曲線$y=1+\;\frac{1}{x}\;（x＜0）$有兩個不同交點，并進(jìn)行求解也可．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算和推理能力．