Question

5．如圖，在多面體PABCD中，△ABC是邊長為2的正三角形，BD=DC=$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{5}$，PA⊥平面ABC．
（1）求證：PA∥平面BCD；
（2）求三棱錐D-BCP的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點E、AB的中點F，連結(jié)AE、ED、CF，通過已知條件及勾股定理可得AE⊥DE，利用PA⊥平面ABC即得結(jié)論
（2）利用幾何體的體積相等，通過轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 證明：（1）取BC的中點E，連結(jié)AE、ED，
∵△ABC是邊長為2的正三角形，
∴AB=BC=2，
∵BD=DC=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{{BD}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{{AB}^{2}-{BE}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵DE²+AE²=2+3=AD²，
∴AE⊥DE，
又DE⊥BC，∴DE⊥平面ABC，
又∵PA⊥平面ABC，
∴PA∥DE，
∴PA∥平面BCD；
解：（2）∵PA∥平面BCD，
∴P到面BCD的距離等于A點到面BCD的距離．
∴V_D-BCP=V_P-BCD=V_A-BCD，
∵DE⊥平面ABC，∴V_A-BCD=V_D-BCA=$\frac{1}{3}$S_△ABC•DE，
∵${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}=\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴V_D-BCP=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的判定定理，幾何體的體積的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．