Question

9．如圖，已知雙曲線C的右焦點為F，過它的右頂點A作實軸的垂線，與其一條漸近線相交于點B；若雙曲線C的焦距為4，△OFB為等邊三角形（O為坐標原點，即雙曲線C的中心），則雙曲線C的方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 由已知設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，由題意得a=OA=$\frac{1}{2}OF$=$\frac{1}{2}c$=1，由此能求出雙曲線方程．

解答 解：∵雙曲線C的右焦點為F，過它的右頂點A作實軸的垂線，與其一條漸近線相交于點B，雙曲線C的焦距為4，
∴由已知設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，
∵△OFB為等邊三角形（O為坐標原點，即雙曲線C的中心），
∴a=OA=$\frac{1}{2}OF$=$\frac{1}{2}c$=1，
∴雙曲線方程為：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．
故答案為：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

點評 本題考查雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運用．