Question

10．在空間四邊形ABCD中，E、F、O、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且AC=BD，求證：EO與FH互相垂直平分．

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出EH$\underset{∥}{=}$FG，EF$\underset{∥}{=}$HG，由AC=BD，得四邊形EFGH是菱形，由此能證明EO與FH互相垂直平分．

解答 證明：∵在空間四邊形ABCD中，E、F、O、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，且EH=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G∥BD，且FG=$\frac{1}{2}BD$，
∴EH$\underset{∥}{=}$FG，
同理，EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，HG∥AC，且HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF$\underset{∥}{=}$HG，
∵AC=BD，
∴四邊形EFGH是菱形，
∴EO與FH互相垂直平分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與直線互相垂直平分的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角形中位線定理的合理運(yùn)用．