Question

10．已知拋物線y²=2px（p＞0），過點（4，0）作直線l交拋物線于A、B兩點，且以AB為直徑的圓過原點O．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線上的定點M（1，$\sqrt{2p}$）作兩條關(guān)于直線x=1對稱的直線，分別交拋物線于C，D兩點，連接CD，試問：直線CD的斜率是否為定值？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可表示出y₁y₂=-8p，y₁+y₂=2pm，進而利用直線方程表示出x₁x₂，根據(jù)AO⊥BO，推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，則p的值可得，進而求得拋物線的方程；
（2）設(shè)直線MC的斜率為k，MD的斜率為-k，可得直線MC．MD的方程，與拋物線方程聯(lián)立求得交點坐標(biāo)，進而可求斜率，從而可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意可設(shè)直線l的方程為x=my+4，代入拋物線方程得y²-2pmx-8p=0，
由韋達定理得y₁y₂=-8p，y₁+y₂=2pm．
∴x₁x₂=（my₁+4）（my₂+4）=16．
∵AO⊥BO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴p=2，
∴拋物線C為：y²=4x．
（2）由題意，M（1，2）．設(shè)直線MC的斜率為k，MD的斜率為-k，
則直線MC的方程為y-2=k（x-1），即y=kx-（k-2）
聯(lián)立方程消去y，得：k²x²-2k²x+（k-2）²=0             
∵x_Mx_C=$\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}$，M（1，2），
∴x_C=$\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}$，∴y_C=-2+$\frac{4}{k}$
同理，得x_D=$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$，y_D=-2-$\frac{4}{k}$
∴k_CD=$\frac{-2-\frac{4}{k}+2-\frac{4}{k}}{\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}-\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}}$=-1一個與k無關(guān)的定值．

點評 本題主要考查了拋物線的方程與簡單性質(zhì)．直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基本的分析問題的能力和基礎(chǔ)的運算能力．