Question

19．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a²=b²+c²-bc．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理和已知等式求得cosA的值，進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）利用兩邊之和大于第三邊，求得b+c的一個(gè)范圍，進(jìn)而利用a²=3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc利用基本不等式求得b+c的最大值，綜合可得答案．

解答 解：（I）由已知得：bc=b²+c²-a²，
故cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）解：一方面b+c＞a=$\sqrt{3}$，
另一方面：a²=3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-$\frac{3}{4}$（b+c）²=$\frac{1}{4}$（b+c）²，
∴（b+c）²≤12，b+c≤2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\sqrt{3}$時(shí)取到等號(hào)．
綜上：$\sqrt{3}$＜b+c≤2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．解題過程中利用了運(yùn)用基本不等式的知識(shí)解決范圍問題．