Question

9．已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整數(shù)m，使得f（-2）-m²-m+4=0，則m取值的集合為{-1，0}．

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0，
令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
若存在整數(shù)m，使得f（-2）-m²-m+4=0，
則-f（2）-m²-m+4=0，
即f（2）=-m²-m+4=-（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
令x=y=1，則f（1+1）=f（1）+f（1），
即f（2）=2f（1）≥4，
即-m²-m+4≥4，
即-m²-m≥0．
則m²+m≤0，
解得-1≤m≤0，
∵m是整數(shù)，∴m=-1或0，
故m取值的集合為{-1，0}，
故答案為：{-1，0}．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．