Question

8．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線與曲線y=x³+2相切，則雙曲線的離心率為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，函數(shù)y=x³+2，求導(dǎo)函數(shù)，再設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與曲線y=x³+2相切，建立方程組，即可求得幾何量之間的關(guān)系，從而可求雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，函數(shù)y=x³+2，求導(dǎo)函數(shù)可得y=3x²，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與曲線y=x³+2相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3{m}^{2}}\\{n=\frac{a}m}\\{3{m}^{2}=\frac{a}}\end{array}\right.$，∴m=1，$\frac{a}$=3，∴b=3a，
∴c²=a²+b²=10a²，
∴c=$\sqrt{10}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與曲線相切，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，正確運(yùn)用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與曲線y=x³+2相切是關(guān)鍵．