Question

8．已知雙曲線的左、右焦點分別是F₁、F₂，過F₂的直線交雙曲線的右支于P、Q兩點，若|PF₁|=|F₁F₂|，且3|PF₂|=2|QF₂|，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 設出雙曲線的焦點，運用雙曲線的定義求得|PF₂|=|PF₁|-2a=2c-2a，結合條件可得|QF₁|=|QF₂|+2a=3c-a，在△PF₁F₂和△QF₁F₂中，分別運用余弦定理以及∠F₁F₂Q+∠F₁F₂P=π，得cos∠F₁F₂Q+cos∠F₁F₂P=0，化簡整理，由離心率公式計算即可得．

解答 解：設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），
則|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
由雙曲線的定義可得|PF₂|=|PF₁|-2a=2c-2a，
由3|PF₂|=2|QF₂|，
可得|QF₂|=3c-3a，
由雙曲線的定義可得|QF₁|=|QF₂|+2a=3c-a，
在△PF₁F₂和△QF₁F₂中，
cos∠F₁F₂P=$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|P{F}_{1}{|}^{2}}{2|{F}_{1}{F}_{2}|•|P{F}_{2}|}$=$\frac{4{c}^{2}+4（c-a）^{2}-4{c}^{2}}{2•2c•2（c-a）}$
=$\frac{c-a}{2c}$，
cos∠F₁F₂Q=$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}+|Q{F}_{2}{|}^{2}-|Q{F}_{1}{|}^{2}}{2|{F}_{1}{F}_{2}|•|Q{F}_{2}|}$=$\frac{4{c}^{2}+9（c-a）^{2}-（3c-a）^{2}}{2•2c•3（c-a）}$
=$\frac{c-2a}{3c}$，
由∠F₁F₂Q+∠F₁F₂P=π，可得cos∠F₁F₂Q+cos∠F₁F₂P=0，
即有$\frac{c-a}{2c}$+$\frac{c-2a}{3c}$=0，即有5c=7a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{7}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，主要考查離心率的求法，運用雙曲線的定義和余弦定理是解題的關鍵，屬于中檔題和易錯題．