Question

15．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：

x	2	4	6	8	10
y	3	6	7	10	12

（1）請根據(jù)上表數(shù)據(jù)在網(wǎng)格紙中繪制散點圖；
（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，并估計當(dāng)x=20時，y的值；
（3）將表格中的數(shù)據(jù)看作五個點的坐標(biāo)，則從這五個點中隨機(jī)抽取2個點，求這兩個點都在直線2x-y-4=0的右下方的概率．
參考公式：$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖即可；
（2）計算平均數(shù)與回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程，利用方程計算x=20時y的值；
（3）用列舉法求出基本事件數(shù)，計算對應(yīng)的概率值．

解答 解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，畫出散點圖如圖所示：

（2）依題意，計算$\overline x=\frac{1}{5}（2+4+6+8+10）=6$，
$\overline y=\frac{1}{5}（3+6+7+10+12）=7.6$，
$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=4+16+36+64+100=220$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=6+24+42+80+120=272$，
b=$\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2}-5{{（\overline x）}^2}}}$=$\frac{272-5×6×7.6}{{220-5×{6^2}}}$=$\frac{44}{40}$=1.1，
∴a=7.6-1.1×6=1$；
∴回歸直線方程為y=1.1x+1，
當(dāng)x=20時，y=1.1×20+1=23；
（3）五個點中落在直線2x-y-4=0右下方的三個點記為A，B，C，另外兩個點記為d，e，
從這五個點中任取兩個點的結(jié)果有
（A，B），（A，C），（A，d），（A，e），（B，C），
（B，d），（B，e），（C，d），（C，e），（d，e）共10個，
其中兩個點均在直線2x-y-4=0的右下方的結(jié)果有3個，
所求的概率為$P=\frac{3}{10}$．

點評 本題考查了散點圖與線性回歸方程的計算問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題．