Question

10．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，$∠CAB=\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）AB∥平面A₁B₁C；
（Ⅱ）證明CB₁⊥BA₁；
（Ⅲ）已知$AB=2，BC=\sqrt{5}$，求三棱錐C₁-ABA₁的體積．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)四邊形ABB₁A₁是平行四邊形得出AB∥A₁B₁．于是AB∥平面A₁B₁C；
（II）連結(jié)B₁C，AB₁，則可證BA₁⊥平面ACB₁，于是CB₁⊥BA₁；
（III）求出AC，即棱錐C₁-ABA₁的高，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 解：（ I）證明：∵AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁
∴四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，
∴AB∥A₁B₁．
又AB?平面A₁B₁C，A₁B₁?平面A₁B₁C
∴AB∥平面A₁B₁C．
（ II）證明：連結(jié)B₁C，AB₁，
∵AA₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥AA₁，又$∠CAB=\frac{π}{2}$，即AC⊥AB，
AB∩AA₁=A，AB?平面ABB₁A₁，AA₁?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，∵BA₁?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥BA₁．
∴四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，AB=AA₁，
∴四邊形ABB₁A₁是正方形，
∴AB₁⊥BA₁．
又AC∩AB₁=A，AC?平面AB₁C，AB₁?平面AB₁C，
∴BA₁⊥平面AB₁C，∵CB₁?平面AB₁C，
∴CB₁⊥BA₁．
（ III）∵$AB=2，BC=\sqrt{5}$，∠CAB=$\frac{π}{2}$，
∴$AC=\sqrt{B{C^2}-A{B^2}}=\sqrt{{{（{\sqrt{5}}）}^2}-{2^2}}=1$．
又${S_{△A{A_1}B}}=\frac{1}{2}AB•A{A_1}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴三棱錐C₁-ABA₁的體積V${\;}_{{C}_{1}-AB{A}_{1}}$=V${\;}_{C-AB{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AB{A}_{1}}•AC$=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．