【題目】對正整數(shù)n,記In={1,2,3,...,n},Pn={|m∈In,k∈In}.

(1)求集合P7中元素的個數(shù);

(2)若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方,則稱A為“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并集.

【答案】(1)46;(2)n的最大值為14.

【解析】試題分析:(1)對于集合P7,有n=7.當(dāng)k=4時,根據(jù)Pn中有3個數(shù)與In={1,2,3…,n}中的數(shù)重復(fù),由此求得集合P7中元素的個數(shù).
(2)先用反證法證明證當(dāng)n≥15時,Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并集,再證P14滿足要求,從而求得n的最大值.

試題解析:

(1)對于集合P7 ,有n=7.當(dāng)k=4時,Pn={|m∈In,k∈In}中有3個數(shù)(1,2,3)與

In={1,2,3,n}中的數(shù)重復(fù),由此求得集合P7中元素的個數(shù)為 7×7﹣3=46.

(2)先證當(dāng)n≥15時,Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并集.否則,設(shè)A和B為兩個不相交的稀疏集,使A∪B=PnIn

不妨設(shè)1∈A,則由于1+3=22,∴3A,即3∈B.同理可得,6∈A,10∈B.又推出15∈A,但1+15=42,

這與A為稀疏集相矛盾.

再證P14滿足要求.當(dāng)k=1時,P14={|m∈I14,k∈I14}=I14,可以分成2個稀疏集的并集.

事實上,只要取A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},則A1和B1都是稀疏集,且A1∪B1=I14

當(dāng)k=4時,集合{|m∈I14}中,除整數(shù)外,剩下的數(shù)組成集合{,,…,},可以分為下列2個稀疏集的并:

A2={,,,},B2={,}.

當(dāng)k=9時,集合{|m∈I14}中,除整數(shù)外,剩下的數(shù)組成集合{,,,,,,},

可以分為下列2個稀疏集的并:

A3={,,,,},B3={,,}.

最后,集合C═{|m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9 }中的數(shù)的分母都是無理數(shù),

它與Pn中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù),

因此,令A(yù)=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,則A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14.

綜上可得,n的最大值為14.

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