Question

4．在Rt△ABC中，兩直角邊分別為a，b，設(shè)h為斜邊上的高，則$\frac{1}{h^2}$=$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$，類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P-ABC 中，若PA，PB，PC兩兩垂直，且長度分別為a，b，c，設(shè)棱錐底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$．

Answer 1

分析 立體幾何中的類比推理主要是基本元素之間的類比：平面?空間，點?點或直線，直線?直線或平面，平面圖形?平面圖形或立體圖形，故本題由平面上的直角三角形中的邊與高的關(guān)系式類比立體中兩兩垂直的棱的三棱錐中邊與高的關(guān)系即可．

解答 解：∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，
∴PA⊥平面PBC．
設(shè)PD在平面PBC內(nèi)部，且PD⊥BC，
由已知有：PD=$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$，h=PO=$\frac{a•PD}{\sqrt{{a}^{2}+P{D}^{2}}}$，
∴h²=$\frac{{a}^{2}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}+^{2}{c}^{2}+{c}^{2}{a}^{2}}$，即 $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$．
故答案為：$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$．

點評 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去．其思維過程大致是：觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜測新的結(jié)論．