Question

9．已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f（x）=$\frac{[x]}{x}$（x＞0），則給出以下四個結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的值域為[0，1]
• B． 函數(shù)f（x）的圖象是一條曲線
• C． 函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)
• D． 函數(shù)g（x）=f（x）-a有且僅有3個零點時$\frac{3}{4}$＜a≤$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 （x）=$\frac{[x]}{x}$（x＞0）的值域不包含（0，$\frac{1}{2}$]，由此能判斷A的正誤；函數(shù)f（x）的圖象是不連續(xù)的線段，由此能判斷B和C的正誤；在D中：由題意可得方程$\frac{|x|}{x}$=a在（0，+∞）上有且僅有3個實數(shù)根，且a≥0，[x]=1，2，3，分別求出[x]=1，2，3，4時，a的范圍，從而確定滿足條件的a的范圍．

解答 解：在A中，f（x）=$\frac{[x]}{x}$（x＞0）的值域不包含（0，$\frac{1}{2}$]，故A不正確；
在B中，函數(shù)f（x）的圖象是不連續(xù)的線段，故B不正確；
在C中，函數(shù)f（x）的圖象是不連續(xù)的線段，故C不正確；
在D中，∵$f（x）=\frac{[x]}{x}-a，x＞0$有且僅有3個零點，∴方程$\frac{[x]}{x}$=a在（0，+∞）上有且僅有3個實數(shù)根，且a≥0，
∵x＞0，∴[x]≥0，若[x]=0，則$\frac{[x]}{x}$=0；
若[x]≥1，∵[x]≤x＜[x]+1，∴$\frac{[x]}{[x]+1}＜\frac{[x]}{x}≤1$，∴$\frac{[x]}{[x]+1}＜a≤1$，
且$\frac{[x]}{[x]+1}$隨[x]的增大而增大，
故不同的[x]對應(yīng)不同的a值，故有[x]=1，2，3，
若[x]=1，則有$\frac{1}{2}＜\frac{[x]}{x}≤1$；若[x]=2，則有$\frac{2}{3}＜\frac{[x]}{x}≤1$；若[x]=3，則有$\frac{3}{4}＜\frac{[x]}{x}≤1$；
若[x]=4，則有$\frac{4}{5}$＜$\frac{[x]}{x}$≤1．
∴$\frac{3}{4}＜a≤\frac{4}{5}$．故D正確．
故選：D．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．