Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²lnx，若f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線的斜率為2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的單調(diào)區(qū)間和最值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用f（1）=0，f′（1）=2聯(lián)立方程組求得a，b的值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在[$\frac{1}{e}$，e]上的單調(diào)區(qū)間，求出極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，則答案可求．

解答 解：（1）由f（x）=ax³+bx²lnx，得f′（x）=3ax²+2bxlnx+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{3a+b=2}\end{array}\right.$，解得a=0，b=2．
∴f（x）=2x²lnx
（2）f′（x）=4xlnx+2x，
由f′（x）=0，得$x={e}^{-\frac{1}{2}}$，
當(dāng)x∈$（{\frac{1}{e}，{e^{-\frac{1}{2}}}}）$時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈$（{{e^{-\frac{1}{2}}}，e}）$時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（{\frac{1}{e}，{e^{-\frac{1}{2}}}}）$，單調(diào)遞增區(qū)間為$（{{e^{-\frac{1}{2}}}，e}）$；
∵$f（\frac{1}{e}）=-\frac{2}{{e}^{2}}$，f（e）=2e²，$f（{e}^{-\frac{1}{2}}）=-\frac{1}{e}$．
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值為2e²，最小值為$-\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題．