Question

4．已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，它的一個頂點恰好是拋物線x=$\frac{1}{4}$y²的焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若AB為橢圓C的一條不垂直于x軸的弦，且過點（1，0）．過A作關(guān)于x軸的對稱點A’，證明直線A′B過x軸的定點．

Answer 1

分析 （1）通過拋物線方程x=$\frac{1}{4}$y²可設(shè)橢圓C的標準方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，進而利用焦點在x軸上、離心率為$\frac{1}{2}$計算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)過點（1，0）的直線AB的方程為x=my+1，聯(lián)立直線與橢圓方程可知交點坐標分別為（1，0）、（$\frac{4-3{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$），進而討論即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線x=$\frac{1}{4}$y²，
∴其焦點為（1，0），
∴可設(shè)橢圓C的標準方程為：x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
又∵焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1-^{2}}{1}$=$\frac{1}{4}$，即b²=$\frac{3}{4}$，
∴橢圓C的標準方程為：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}=1$；
（2）依題意，設(shè)過點（1，0）的直線AB的方程為：x=my+1，
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去x整理得：
（4+3m²）y²+6my=0，
解得：y=0或y=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，
①記A（1，0）、B（$\frac{4-3{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$），
則A′（1，0），顯然直線A′B即直線AB，
∴直線A′B過x軸的定點（1，0）；
②記A（$\frac{4-3{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$）、B（1，0），
則直線A′B過x軸的定點B（1，0）；
綜上所述，直線A′B過x軸的定點（1，0）．

點評 本題考查是一道關(guān)于直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．