Question

17．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分別為棱AB、A₁D₁的中點(diǎn)，M、N分別為面BCC₁B₁和DCC₁D₁上的點(diǎn)，一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P射向點(diǎn)M，遇正方體的面反射（反射服從光的反射原理），反射到點(diǎn)N，再經(jīng)平面反射，恰好反射至點(diǎn)Q，則三條線段PM、MN、NQ的長(zhǎng)度之和為（　　）

• A． $\sqrt{22}$
• B． $\sqrt{21}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作點(diǎn)P關(guān)于平面BCC₁B₁的對(duì)稱點(diǎn)P₁，再作Q關(guān)于平面DCC₁D₁的對(duì)稱點(diǎn)Q₁，連接P₁Q₁，根據(jù)勾股定理即可求得長(zhǎng)度之和．

解答 解：作點(diǎn)P關(guān)于平面BCC₁B₁的對(duì)稱點(diǎn)P₁，再作Q關(guān)于平面DCC₁D₁的對(duì)稱點(diǎn)Q₁，連接P₁Q₁，這就是光線所經(jīng)過的等效路徑，
其長(zhǎng)度就是PM，MN，NQ三條線段的長(zhǎng)度之和，
根據(jù)勾股定理：|P₁Q₁|²=（A₁Q₁）²+（AA₁）²+（AP₁）²=3²+2²+3²=22，
可得|P₁Q₁|=$\sqrt{22}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的幾何性質(zhì)，光的反射原理，對(duì)稱性問題，化折線為直線求解線段的長(zhǎng)度，題目很新穎，屬于中檔題．