Question

17．某晚會有2個(gè)歌唱節(jié)目和5個(gè)舞蹈節(jié)目依次表演，分別按照下列要求，可以排多少種節(jié)自單？（用數(shù)字作答）
（1）2個(gè)唱歌節(jié)目連續(xù)表演，5個(gè)舞蹈也連續(xù)表演；
（2）歌唱節(jié)目A不能在第一個(gè)，歌唱節(jié)目B也不能在最后一個(gè)表演；
（3）歌唱節(jié)目A，B之間至少安排3個(gè)舞蹈節(jié)目．

Answer 1

分析 （1）分別把2個(gè)唱歌節(jié)目捆綁在一起，5個(gè)舞蹈也捆綁在一起，再全排，問題得以解決．
（2）分兩類，第一類，若歌唱節(jié)目A在最后一個(gè)，第二類，若歌唱節(jié)目A不在最后一個(gè)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．
（3）分三類，第一類，歌唱節(jié)目A，B之間安排3個(gè)舞蹈節(jié)目，第二類，歌唱節(jié)目A，B之間安排4個(gè)舞蹈節(jié)目，第三類，歌唱節(jié)目A，B之間安排5個(gè)舞蹈節(jié)目，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．

解答 解（1）分別把2個(gè)唱歌節(jié)目捆綁在一起，5個(gè)舞蹈也捆綁在一起，再全排，故有A₅⁵A₂²A₂²=480種，
（2）分兩類，第一類，若歌唱節(jié)目A在最后一個(gè)，其余節(jié)目全排，故有A₆⁶=720種，
第二類，若歌唱節(jié)目A不在最后一個(gè)，先從5個(gè)舞蹈中選一個(gè)排在最后，再從歌唱節(jié)目B和另外的4個(gè)舞蹈節(jié)目選1個(gè)排在第一個(gè)，其余的任意排，
A₅¹A₅¹A₅⁵=3000種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有3000+720=3720種，
（3）分三類，第一類，歌唱節(jié)目A，B之間安排3個(gè)舞蹈節(jié)目，先從5個(gè)舞蹈節(jié)目中選3個(gè)排在A，B之間，和A，B捆綁在一起，再和剩下的2個(gè)舞蹈節(jié)目全排，
故有A₅³A₂²A₃³=720種
第二類，歌唱節(jié)目A，B之間安排4個(gè)舞蹈節(jié)目，先從5個(gè)舞蹈節(jié)目中選4個(gè)排在A，B之間，和A，B捆綁在一起，再和剩下的1個(gè)舞蹈節(jié)目全排，
故有A₅⁴A₂²A₂²=480種，
第三類，歌唱節(jié)目A，B之間安排5個(gè)舞蹈節(jié)目，故有A₅⁵A₂²=240種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有720+480+240=1440種．

點(diǎn)評 本題是一個(gè)排列組合典型，實(shí)際上所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題．