Question

17．某晚會有2個歌唱節(jié)目和5個舞蹈節(jié)目依次表演，分別按照下列要求，可以排多少種節(jié)自單？（用數(shù)字作答）
（1）2個唱歌節(jié)目連續(xù)表演，5個舞蹈也連續(xù)表演；
（2）歌唱節(jié)目A不能在第一個，歌唱節(jié)目B也不能在最后一個表演；
（3）歌唱節(jié)目A，B之間至少安排3個舞蹈節(jié)目．

Answer 1

分析 （1）分別把2個唱歌節(jié)目捆綁在一起，5個舞蹈也捆綁在一起，再全排，問題得以解決．
（2）分兩類，第一類，若歌唱節(jié)目A在最后一個，第二類，若歌唱節(jié)目A不在最后一個，根據(jù)分類計數(shù)原理可得．
（3）分三類，第一類，歌唱節(jié)目A，B之間安排3個舞蹈節(jié)目，第二類，歌唱節(jié)目A，B之間安排4個舞蹈節(jié)目，第三類，歌唱節(jié)目A，B之間安排5個舞蹈節(jié)目，根據(jù)分類計數(shù)原理可得．

解答 解（1）分別把2個唱歌節(jié)目捆綁在一起，5個舞蹈也捆綁在一起，再全排，故有A₅⁵A₂²A₂²=480種，
（2）分兩類，第一類，若歌唱節(jié)目A在最后一個，其余節(jié)目全排，故有A₆⁶=720種，
第二類，若歌唱節(jié)目A不在最后一個，先從5個舞蹈中選一個排在最后，再從歌唱節(jié)目B和另外的4個舞蹈節(jié)目選1個排在第一個，其余的任意排，
A₅¹A₅¹A₅⁵=3000種，
根據(jù)分類計數(shù)原理，共有3000+720=3720種，
（3）分三類，第一類，歌唱節(jié)目A，B之間安排3個舞蹈節(jié)目，先從5個舞蹈節(jié)目中選3個排在A，B之間，和A，B捆綁在一起，再和剩下的2個舞蹈節(jié)目全排，
故有A₅³A₂²A₃³=720種
第二類，歌唱節(jié)目A，B之間安排4個舞蹈節(jié)目，先從5個舞蹈節(jié)目中選4個排在A，B之間，和A，B捆綁在一起，再和剩下的1個舞蹈節(jié)目全排，
故有A₅⁴A₂²A₂²=480種，
第三類，歌唱節(jié)目A，B之間安排5個舞蹈節(jié)目，故有A₅⁵A₂²=240種，
根據(jù)分類計數(shù)原理，共有720+480+240=1440種．

點評 本題是一個排列組合典型，實際上所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題．