Question

14．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，側(cè)面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F(xiàn)為SD的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐S-FAC的體積；
（2）求直線BD與平面FAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意，三棱錐S-FAC的體積=三棱錐S-DAC的體積的一半，取AB的中點(diǎn)O，連接SA，利用體積公式求三棱錐S-FAC的體積；
（2）求出D到平面AFC的距離，即可求直線BD與平面FAC所成角的正弦值．

解答 解：（1）由題意，三棱錐S-FAC的體積=三棱錐S-DAC的體積的一半．
取AB的中點(diǎn)O，連接SO，則SO⊥底面ABCD，SO=$\sqrt{3}$，
∵S_△DAC=$\frac{1}{2}×2×2×sin120°$=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐S-FAC的體積=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
（2）連接OD，OC，則OC=OD=$\sqrt{3}$，∴SC=SD=3，
△SAD中，SA=AD=2，F(xiàn)為SD的中點(diǎn)，∴AF=$\sqrt{4-\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
△SCD中，SC=SD=3，CD=2，∴9+4CF²=2（9+4），∴CF=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
△FAC中，cos∠AFC=$\frac{\frac{7}{4}+\frac{17}{4}-4}{2×\frac{\sqrt{7}}{2}×\frac{\sqrt{17}}{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{119}}$，
∴sin∠AFC=$\sqrt{\frac{83}{119}}$，
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{7}}{2}$×$\frac{\sqrt{17}}{2}$×$\sqrt{\frac{83}{119}}$=$\frac{\sqrt{83}}{8}$
設(shè)D到平面AFC的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{83}}{8}h=\frac{1}{2}$，∴h=$\frac{12}{\sqrt{83}}$，
∴直線BD與平面FAC所成角的正弦值$\frac{12}{\sqrt{83}}$÷$\frac{3}{2}$=$\frac{8\sqrt{83}}{83}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐S-FAC的體積，直線BD與平面FAC所成角的正弦值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求體積是關(guān)鍵．