Question

13．若α∈（π，2π），且sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（1）求cos²α-cos⁴α的值； 
（2）求sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （1）把sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$兩邊平方，得到sin$αcosα=-\frac{7}{16}$，由此能求出cos²α-cos⁴α的值．
（2）由sinαcosα=-$\frac{7}{16}$＜0，α∈（π，2π），得sinα＜0，cosα＞0，先求出（sinα-cosα）²，由此能求出sinα-cosα的值．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{1}{8}$，
∴sin$αcosα=-\frac{7}{16}$，…..（2分）
∵cos²α-cos⁴α=cos²α（1-cos²α）=cos²αsin²α=$\frac{49}{256}$．…..（5分）
（2）∵sinαcosα=-$\frac{7}{16}$＜0，α∈（π，2π），∴sinα＜0，cosα＞0，…..（6分）
（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{7}{8}=\frac{15}{8}$，…..（8分）
∴sinα-cosα=-$\frac{\sqrt{30}}{4}$．…..（10分）

點評 本題考查三角函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意同角三角函數(shù)關系的合理運用．