Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=（-1）ⁿ（2n+1）•sin$\frac{nπ}{2}$+1，前n項(xiàng)和為S_n，則S₁₀₀=200．

Answer 1

分析 n為偶數(shù)時(shí)，sin$\frac{nπ}{2}$=0；n=4k+1，k∈Z時(shí)，sin$\frac{nπ}{2}$=1；n=4k+3，k∈Z時(shí)，sin$\frac{nπ}{2}$=-1；由此利用數(shù)列的周期性能求出S₁₀₀．

解答 解：∵n為偶數(shù)時(shí)，sin$\frac{nπ}{2}$=0，
∴a_n=（2n+1）sin$\frac{nπ}{2}$+1=1，
n為奇數(shù)時(shí)，若n=4k+1，k∈Z，
則sin$\frac{nπ}{2}$=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$）=1，
∴a_n=-2n，
若n=4k+3，k∈Z，則sin$\frac{nπ}{2}$=sin（2kπ+$\frac{3π}{2}$）=-1，
∴a_n=2n+2，
∴不妨以四項(xiàng)為一個(gè)整體，
∴a_4k+1+a_4k+2+a_4k+3+a_4k+4
=-2（4k+1）+1+2+2（4k+3）+1=8，
∴S₁₀₀=$\frac{100}{4}$×8=200．
故答案為：200．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前100項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的周期性的合理運(yùn)用，屬于中檔題．