Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過PA⊥平面ABCD可得DF⊥PA，通過底面ABCD是菱形、∠BAD=60°、F是AB的中點，可得DF⊥AB，利用線面垂直、面面垂直的判定定理即得結論；
（Ⅱ）以A為坐標原點，以AD、AP所在直線分別為y、z軸建立空間直角坐標系A-xyz，則所求角的余弦值即為平面PAB的一個法向量與平面PCD的一個法向量的夾角的余弦值的絕對值，計算即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB是正三角形，
∵F是AB的中點，∴DF⊥AB，
又PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴DF⊥平面PAB，
又∵DF?平面PDF，
∴平面PDF⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：以A為坐標原點，以AD、AP所在直線分別為y、z軸建立空間直角坐標系A-xyz如圖，
則P（0，0，1），C（$\sqrt{3}$，3，0），D（0，2，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
由（I）知DF⊥平面PAB，
∴$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0）是平面PAB的一個法向量，
設平面PCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，
取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
設平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DF}$＞|=$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DF}|}|$=$\frac{1}{2}$，
∴平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查空間中面面垂直的判定，考查求二面角的大小，注意解題方法的積累，屬于中檔題．