Question

10．如圖，在三棱柱FPE-ACB中，AC=BC=2，∠ACB=90°．△PAB為等邊三角形，PC⊥BC．
（I）求證：平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值；并求三棱錐p-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知證明△PAC≌△PBC，可得PC⊥CA，再由線面垂直的判定證明平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）由題意可得PC=AC=2，取PA中點G，連接BG、CG，則BG⊥PA，CG⊥PA，則∠BGC為二面角B-AP-C的平面角，求解直角三角形可得二面角B-AP-C的正弦值；直接由三棱錐的體積公式求得三棱錐p-ABC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，∵AC=BC，PA=PB，PC=PC，
∴△PAC≌△PBC，
∵PC⊥BC，∴PC⊥CA，
又AC∩BC=C，∴PC⊥面ABC，
∵PC?面PAC，
∴平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：在Rt△ACB中，由AC=BC=2，得AB=$2\sqrt{2}$，
∵△PAB為等邊三角形，∴PA=PB=$2\sqrt{2}$，
在Rt△PCA中，可得PC=2，
取PA中點G，連接BG、CG，則BG⊥PA，CG⊥PA，
∴∠BGC為二面角B-AP-C的平面角，
在Rt△BCG中，由CG=$\sqrt{2}$，BC=2，得$BG=\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，
∴$sin∠BGC=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了三棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．