Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意n∈N^*，它的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n＝(a_n＋1)(a_n＋2)，并且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b_n＝(－1)^n＋1a_na_n＋1，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_2n.

Answer 1

解　(1)∵對(duì)任意n∈N^*，有S_n＝(a_n＋1)(a_n＋2)，           ①

∴當(dāng)n＝1時(shí)，有S₁＝a₁＝(a₁＋1)(a₁＋2)，

解得a₁＝1或2.

當(dāng)n≥2時(shí)，有S_n－1＝(a_n－1＋1)(a_n－1＋2)．               ②

①－②并整理得(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1－3)＝0.

而數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n－a_n－1＝3.

當(dāng)a₁＝1時(shí)，a_n＝1＋3(n－1)＝3n－2，

此時(shí)a＝a₂a₉成立；

當(dāng)a₁＝2時(shí)，a_n＝2＋3(n－1)＝3n－1，

此時(shí)a＝a₂a₉不成立，舍去．

∴a_n＝3n－2，n∈N^*.

(2)T_2n＝b₁＋b₂＋…＋b_2n

＝a₁a₂－a₂a₃＋a₃a₄－a₄a₅＋…－a_2na_2n＋1

＝a₂(a₁－a₃)＋a₄(a₃－a₅)＋…＋a_2n(a_2n－1－a_2n＋1)

＝－6a₂－6a₄－…－6a_2n

＝－6(a₂＋a₄＋…＋a_2n)

＝－6×＝－18n²－6n.