Question

20．已知第一象限的點P（a，b-1）到直線$\sqrt{3}$x+y+1=0的距離等于2，則ab的最大值為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 利用點到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由題意可得：$\frac{|\sqrt{3}a+b-1+1|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=2，化為$\sqrt{3}a+b=4$，（a，b＞0）．
∴ab=$\frac{1}{\sqrt{3}}•\sqrt{3}a•b$$≤\frac{1}{\sqrt{3}}（\frac{\sqrt{3}a+b}{2}）^{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，當且僅當$\sqrt{3}a$=b=2時取等號．
∴ab的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了點到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．