Question

18．如圖棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段A₁B上的動點，則下列結論錯誤的是（　�。�

• A． 平面D₁A₁P⊥平面A₁AP
• B． 二面角B-A₁D₁-A的大小為45°
• C． 三棱錐B₁-D₁PC的體積不變
• D． AP+PD₁的最小值為$\sqrt{2+\sqrt{3}}$

Answer 1

分析 利用平面D₁A₁BC，⊥平面A₁ABB₁，得出平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，即可判斷A；
由線面垂直的性質，可得A₁D₁⊥A₁A，A₁D₁⊥A₁B，則∠AA₁B為二面角B-A₁D₁-A的平面角，即可判斷B；
連接AB₁，交A₁B于O，運用線面垂直的判定，可得三棱錐B₁-D₁PC的高和底面積，進而得到體積，可判斷C；
將面AA₁B與面A₁BCD₁沿A₁B展成平面圖形，線段AD₁即為AP+PD₁的最小值，運用余弦定理可得最小值，可判斷D．

解答 解：∵平面D₁A₁P即為平面D₁A₁BC，平面A₁AP 即為平面A₁ABB₁，
而D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴平面D₁A₁BC，⊥平面A₁ABB₁，∴平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，
故A正確；
由D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，可得A₁D₁⊥A₁A，A₁D₁⊥A₁B，
則∠AA₁B為二面角B-A₁D₁-A的平面角，且∠AA₁B=45°，
故B正確；
連接AB₁，交A₁B于O，則B₁O⊥A₁B，B₁O⊥A₁D₁，
可得B₁O⊥平面A₁BCD₁，在矩形A₁BCD₁中，△D₁PC的面積為$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則三棱錐B₁-D₁PC的體積為$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$，
故C正確；
將面AA₁B與面A₁BCD₁沿A₁B展成平面圖形，
線段AD₁即為AP+PD₁的最小值，

在△D₁A₁A中，∠D₁A₁A=135°，利用余弦定理解三角形得
AD₁=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，
即AP+PD₁≥AD₁=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
故D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查正方體的結構特征，空間位置關系的判定和空間角的求法，注意運用轉化的思想，考查空間推理和運算能力，屬于中檔題．