Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=

2

，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（3）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為

3

2

？若存在，求出

AQ

QD

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只需證直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直即可；
（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用V_p-DQC=V_Q-PCD，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：在△PAD卡中PA=PD，O為AD中點，所以PO⊥AD．
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（2）解：連接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，
所以O(shè)B∥DC．
由（1）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，
所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角．
因為AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以O(shè)B=

2

，
在Rt△POA中，因為AP=

2

，AO=1，所以O(shè)P=1，
在Rt△PBO中，PB=

3

，所以cos∠PBO=

6

3

，
所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為

6

3

．
（3）解：假設(shè)存在點Q，使得它到平面PCD的距離為

3

2

．
設(shè)QD=x，則S_△DQC=

1

2

x，由（2）得CD=OB=

2

，
在Rt△POC中，PC=

2

，
所以PC=CD=DP，S_△PCD=

3

4

×(

2

)2=

3

2

，
由V_p-DQC=V_Q-PCD，得x=

3

2

，所以存在點Q滿足題意，此時

AQ

QD

=

1

3

．

點評：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運算能力．