Question

已知兩個(gè)函數(shù)f（x）=8x²+16x-k（k∈R），g（x）=2x³+5x²+4x
（1）若?x∈[-3，3]都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；
（2）若?x₁，x₂∈[-3，3]都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若?x∈[-3，3]都有f（x）≤g（x）成立，f（x）-g（x）≤0恒成立，利用分類參數(shù)法，可得k的取值范圍；
（2）分別利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)求出兩個(gè)最值，若?x₁，x₂∈[-3，3]，使f（x₁）≤g（x₂），只需在∈[-3，3]上f（x）_max≤g（x）_min即可，列不等式求解即可得到答案．

解答： 解：（1）若?x∈[-3，3]都有f（x）≤g（x）成立，
即f（x）-g（x）=8x²+16x-k-（2x³+5x²+4x）≤0恒成立，
即-2x³+3x²+12x≤k恒成立，
令h（x）=-2x³+3x²+12x，
則k≥h（x）_max，
∵h(yuǎn)′（x）=-6x²+6x+12=-6（x+1）（x-2），
令h′（x）=0，得x=-1，或x=2，
在x∈[-3，-1）∪（2，3]，h′（x）＜0，[-3，-1）與（2，3]是h（x）單調(diào)遞減區(qū)間．
在x∈（-1，2），h′（x）＞0，（-1，2]是h（x）單調(diào)遞減區(qū)間．
所以h（x）的極大值為h（2）=20，
又h（-3）=45，所以h（x）_max=45，
故k≥45
（2）∵g（x）=2x³+5x²+4x，
∴g′（x）=6x²+10x+4=2（x+1）（3x+2），
令g′（x）=0，得x=-1，或x=-

2

3

，
在x∈[-3，-1）∪（-

2

3

，3]，g′（x）＞0，[-3，-1）與（-

2

3

，3]是g（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
在x∈（-1，-

2

3

），g′（x）＜0，（-1，-

2

3

]是g（x）單調(diào)遞減區(qū)間．
所以g（x）的極小值為g（-

2

3

）=-

28

27

，
又g（-3）=-21，所以g（x）_min=-21，
由函數(shù)f（x）=8x²+16x-k的圖象是開口朝上，且以直線x=-1為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)x=3時(shí)，f（x）_max=120-k，
∴120-k≤-21，
解得：k≥141

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值及應(yīng)用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是關(guān)鍵．考查邏輯推理、轉(zhuǎn)化計(jì)算等能力．