1.求證:(1)tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{1-2co{s}^{2}α}{sinαcosα}$;(2)(1+tanα)2+(1-tanα)2=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$.

分析 將切化弦,利用同角的三角函數(shù)化簡即可證明.

解答 證明:(1)∵tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{sinα}{cosα}$-$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{1-co{s}^{2}α-co{s}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{1-2co{s}^{2}α}{sinαcosα}$.
∴tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{1-2co{s}^{2}α}{sinαcosα}$.
(2))∵(1+tanα)2+(1-tanα)2=1+2tanα+tan2α+1-2tanα+tan2α=2+2tan2α=2+$\frac{2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{2co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$.
∴(1+tanα)2+(1-tanα)2=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$.

點評 本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系,三角恒等式的證明,將切化弦是證明的關(guān)鍵.

練習冊系列答案
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