Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：平面PCD⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中點F，連接EF，AF，推導出四邊形DEFA是平行四邊形，由此能證明DE∥平面PAB．
（Ⅱ）由已知推導出AF⊥BC，AF⊥PB，從而AF⊥平面PBC，再由DE∥AF，能證明平面PCD⊥平面PBC．

解答 證明：（Ⅰ）取PB中點F，連接EF，AF，
由已知EF∥BC∥AD，且2EF=2AD=BC，
所以，四邊形DEFA是平行四邊形，
于是DE∥AF，AF?平面PAB，DE?平面PAB，
因此DE∥平面PAB． …（6分）
（Ⅱ）側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，
所以BC⊥平面PAB，AF?平面PAB，所以AF⊥BC，
又因為PA=AB，F(xiàn)是PB中點，于是AF⊥PB，
PB∩BC=B，所以AF⊥平面PBC，
由（Ⅰ）知DE∥AF，故DE⊥平面PBC，
而DE?平面PCD，
因此平面PCD⊥平面PBC． …（12分）

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．