Question

11．已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點E是A′C′的中點，點F是AE的三等分點，且$AF=\frac{1}{2}EF$，則$\overrightarrow{AF}$等于（　�。�

• A． $\overrightarrow{AA′}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$
• B． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AA′}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AA′}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AD}$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AA′}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AD}$

Answer 1

分析 如圖所示，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{A{A}^{′}}$+$\overrightarrow{{A}^{′}E}$，$\overrightarrow{{A}^{′}E}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}^{′}{C}^{′}}$，$\overrightarrow{{A}^{′}{C}^{′}}$=$\overrightarrow{{A}^{′}{D}^{′}}$+$\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}$，$\overrightarrow{{A}^{′}{D}^{′}}$=$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}$=$\overrightarrow{AB}$，代入化簡即可得出．

解答 解：如圖所示，
$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{A{A}^{′}}$+$\overrightarrow{{A}^{′}E}$，$\overrightarrow{{A}^{′}E}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}^{′}{C}^{′}}$，$\overrightarrow{{A}^{′}{C}^{′}}$=$\overrightarrow{{A}^{′}{D}^{′}}$+$\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}$，$\overrightarrow{{A}^{′}{D}^{′}}$=$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{{A}^{′}{B}^{′}}$=$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{A{A}^{′}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}^{′}{C}^{′}}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{′}}$+$\frac{1}{6}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$．
故選：D．

點評 本題考查了向量共線定理、向量三角形法則與平行四邊形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．