Question

11．已知點(diǎn)P是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一點(diǎn)，過P作C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（　�。�

• A． -$\frac{12}{7}$
• B． $\frac{12}{7}$
• C． $\frac{12}{49}$
• D． -$\frac{12}{49}$

Answer 1

分析 確定兩條漸近線方程，設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P（x₀，y₀），求出點(diǎn)P到兩條漸近線的距離，利用P（x₀，y₀）在雙曲線C上，及向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．

解答 解：由條件可知：兩條漸近線分別為l₁：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，l₂：y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x$\frac{|\sqrt{3}{x}_{0}+2{y}_{0}|}{\sqrt{7}}$，
設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P（x₀，y₀），則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為|$\overrightarrow{PA}$|=$\frac{|\sqrt{3}{x}_{0}+2{y}_{0}|}{\sqrt{7}}$，|$\overrightarrow{PB}$|=$\frac{|\sqrt{3}{x}_{0}-2{y}_{0}|}{\sqrt{7}}$，
所以|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\frac{|\sqrt{3}{x}_{0}+2{y}_{0}|}{\sqrt{7}}$•$\frac{|\sqrt{3}{x}_{0}-2{y}_{0}|}{\sqrt{7}}$=$\frac{|3{x}_{0}^{2}-4{y}_{0}^{2}|}{7}$，
因?yàn)镻（x₀，y₀）在雙曲線C上，所以$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$=1，即3x₀²-4y₀²=12，
故|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\frac{12}{7}$，
設(shè)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的夾角為θ，設(shè)漸近線與x軸的夾角為α，
則θ=π-2α，
∵tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos2α=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1-\frac{3}{4}}{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{7}$，
∴cosθ=cos（π-α）=-cosα=-$\frac{1}{7}$，
得cosθ=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|}$=-$\frac{1}{7}$，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-$\frac{12}{49}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．