Question

2．某電視臺為慶祝元宵節(jié)上映了一種猜燈謎游戲，其規(guī)則為：在編號1234的不透明箱子內(nèi)各放有三個不相同的小燈籠，每個小燈籠上都有一個謎語，參賽者從任意一個箱子中隨機抓取若干個小燈籠進行破解謎題．
（1）小陳隨機抓了4個小燈籠，求至少有三個是3號 4號箱子的小燈籠概率．
（2）設(shè)小陳對3號，4號箱內(nèi)的燈籠上的謎語猜對的概率為$\frac{4}{5}$．對1號，2號箱內(nèi)的燈籠上的謎語猜對的概率為$\frac{3}{5}$．若他從1號，3號，4號箱子內(nèi)各抓取一個燈籠進行謎語破解，求他能夠破解的謎語的個數(shù)的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）先求出沒有條件限制，小陳隨機抓了4個小燈籠的基本事件的種數(shù)，再根據(jù)分類計數(shù)原理求出至少有三個是3號 4號箱子的小燈籠的種數(shù)，根據(jù)概率公式計算即可；
（2）確定他能夠破解的謎語的個數(shù)的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求出他能夠破解的謎語的個數(shù)的分布列和期望．

解答 解：（1）沒有條件限制，小陳隨機抓了4個小燈籠的基本事件有${C}_{12}^{4}$=495種，
至少有三個是3號，4號箱子的小燈籠，分為兩類，當3，4號箱子為3個時，有${C}_{6}^{3}{C}_{6}^{1}$=120種，
當3，4號箱子為4個時，有${C}_{6}^{4}$=15種，
所以至少有三個是3號，4號箱子的小燈籠有120+15=135種，
故至少有三個是3號 4號箱子的小燈籠概率$\frac{135}{495}$=$\frac{3}{11}$；
（2）設(shè)他能夠破解的謎語的個數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{2}{125}$，P（ξ=1）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×2$=$\frac{19}{125}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×2$+$\frac{2}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{56}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{48}{125}$，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{2}{125}$	$\frac{19}{125}$	$\frac{56}{125}$	$\frac{48}{125}$

Eξ=0×$\frac{2}{125}$+1×$\frac{19}{125}$+2×$\frac{56}{125}$+3×$\frac{48}{125}$=$\frac{11}{5}$．

點評 本題考查了分類計數(shù)原理和古典概率的問題，考查他能夠破解的謎語的個數(shù)的分布列和期望．正確求概率是關(guān)鍵，屬于中檔題．